Η ύλη του βιβλίου αυτού είναι κατανεμημένη σε επτά κεφάλαια.

Τα πρώτα δυο αναφέρονται στις απαιτούμενες γνώσεις Γραμμικής Άλγεβρας και Τοπολογίας για την κατανόηση των Διαφορίσιμων Πολλαπλοτήτων και των πολλαπλοτήτων Riemann.

Στο τρίτο και τέταρτο κεφάλαιο αναπτύσσονται  οι Ευκλείδειες Πολλαπλότητες Rn και δίνεται ιδιαίτερη έμφαση στις έννοιες των διανυσματικών πεδίων, των διαφορικών μορφών, όπως επίσης και των αλγεβρών Lie.

Στο πέμπτο κεφάλαιο γίνεται η μελέτη των Διαφορίσιμων πολλαπλοτήτων Mn , ενώ στο έκτο αναπτύσσονται οι υποπολλαπλότητες μιας πολλαπλότητας Mn και δίνεται η έννοια της Γραμμικής Σύνδεσης πάνω στην Mn. Στη συνέχεια, ορίζονται οι έννοιες της Καμπυλότητας, της Στρέψης και των γεωδαισιακών  μιας Γραμμικής Σύνδεσης και ορίζονται οι Πολλαπλότητες Riemann. Επίσης, δίνονται οι έννοιες των διαφορίσιμων μετασχηματισμών (diffeomorphisms) μιας πολλαπλότητας, η παραλληλία, οι γεωδαισιακές, η Εκθετική και η Λογαριθμική απεικόνιση και τέλος η σχέση της εκθετικής απεικόνισης και της άλγεβρας Lie μιας πολλαπλότητας Mn.

Τέλος, στο έβδομο κεφάλαιο αναφέρονται διάφορα είδη μετρικών Riemann. Στη συνέχεια ορίζεται η ψευδοσφαίρα στην πολλαπλότητα R31,2 και με τη βοήθεια της στερεογραφικής προβολής υπολογίζεται η μετρική του Lobachevsky. Επίσης, δίνονται οι έννοιες των απεικονίσεων Weingarten και Gauss και αποδεικνύεται η θεμελιώδης σχέση που τις συνδέει.